Transformations of Jointly Distributed Random Variables

First generate lots of pairs ((Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])), where (Subscript[X, 1]) and (Subscript[X, 2]) are uniformly distributed on the interval [0,1].

xVals=RandomVariate[UniformDistribution[],{10000,2}]

GraphicsRow[{
Histogram3D[xVals,{0.125},"PDF",AxesLabel->{"(Subscript[x, 1])","(Subscript[x, 2])"},BoxRatios->{1, 1, 1}],
ListPlot[xVals,AspectRatio->1,AxesLabel->{"(Subscript[x, 1])","(Subscript[x, 2])"}]
}]

Now transform each pair ((Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])), to ((Subscript[Y, 1]),(Subscript[Y, 2]))=((Subscript[X, 1])+(Subscript[X, 2]),(Subscript[X, 1])-(Subscript[X, 2])).

f[pair_]:={pair[[1]]+pair[[2]],pair[[1]]-pair[[2]]}
yVals=f/@xVals

GraphicsRow[{
Histogram3D[yVals,{0.125},"PDF",AxesLabel->{"(Subscript[y, 1])","(Subscript[y, 2])"},BoxRatios->{1, 1, 1}],
ListPlot[yVals,AspectRatio->1,AxesLabel->{"(Subscript[y, 1])","(Subscript[y, 2])"}]
}]